#assignment #sdsc6012

Question 1

time_series_plot.png

  1. 趋势成分提取（移动平均法）

    趋势成分通过中心化移动平均法提取：

    Trendt=1k∑i=t−mt+mxi\text{Trend}_t = \frac{1}{k} \sum_{i=t-m}^{t+m} x_i

    其中：

    • kk 为窗口大小（此处取12，对应年度周期）

    • m=⌊k/2⌋m = \lfloor k/2 \rfloor（中心化移动平均的半窗宽）

    • 边界处理：当t<mt < m或t>n−mt > n-m时，使用可用数据计算均值

  2. 季节性成分提取（周期平均法）

    1. 计算去趋势序列：dt=xt−Trendtd_t = x_t - \text{Trend}_t

    2. 对每个周期位置jj（j=0,1,…,11j=0,1,\ldots,11）计算平均值：

      sj=1Nj∑k=0Nj−1dj+12ks_j = \frac{1}{N_j} \sum_{k=0}^{N_j-1} d_{j+12k}

      其中NjN_j是周期位置jj出现的次数

    3. 零均值化处理：

      Seasonalj=sj−sˉ,sˉ=112∑j=011sj\text{Seasonal}_j = s_j - \bar{s}, \quad \bar{s} = \frac{1}{12}\sum_{j=0}^{11} s_j

    4. 构建完整季节性序列：Seasonalt=Seasonaltmod  12\text{Seasonal}_t = \text{Seasonal}_{t \mod 12}

  3. 残差计算

    εt=xt−Trendt−Seasonalt\varepsilon_t = x_t - \text{Trend}_t - \text{Seasonal}_t

time_series_decompose_plot.png

  1. 时间序列方程

    xt=(Trend)t+Seasonaltmod  12+εtx_t = \text(Trend)_t + \text{Seasonal}_{t \mod 12}+ \varepsilon_t

    其中εt\varepsilon_t是均值为0的随机噪声。

Question 2

考虑时间序列

xt=β1+β2t+wtx_t = \beta_1 + \beta_2 t + w_t

其中 β1\beta_1 和 β2\beta_2 是已知常数，w_t 是方差为 σw2\sigma_w^2 的白噪声过程。
(a) 判断 xtx_t 是否平稳。
(b) 证明过程 yt=xt−xt−1y_t = x_t - x_{t-1} 是平稳的。
© 证明移动平均

vt=12q+1∑j=−qqxt−jv_t = \frac{1}{2q+1} \sum_{j=-q}^{q} x_{t-j}

的均值为 β1\beta_1 + β2\beta_2 t，并给出自协方差函数的简化表达式。

(a) 判断 xtx_t 的平稳性

xtx_t 不是平稳过程。

  • 均值函数：E[xt]=β1+β2tE[x_t] = \beta_1 + \beta_2 t（随时间变化）

  • 自协方差函数：γx(h)={σw2h=00h≠0\gamma_x(h) = \begin{cases} \sigma_w^2 & h=0 \\ 0 & h \neq 0 \end{cases}
    虽然自协方差仅依赖时间差 hh，但均值非常数，因此不满足平稳性条件。

(b) 证明 yt=xt−xt−1y_t = x_t - x_{t-1} 是平稳的

yt=β2+wt−wt−1y_t = \beta_2 + w_t - w_{t-1} 是平稳过程。

  1. 均值：
    E[yt]=β2E[y_t] = \beta_2（常数）

  2. 自协方差函数：
    γy(h)={2σw2h=0−σw2∣h∣=10∣h∣>1\gamma_y(h) = \begin{cases} 2\sigma_w^2 & h=0 \\ -\sigma_w^2 & |h|=1 \\ 0 & |h|>1 \end{cases}
    仅依赖时间差 hh，满足平稳性条件。

© 移动平均 vtv_t 的均值和自协方差

vt=12q+1∑j=−qqxt−jv_t = \frac{1}{2q+1} \sum_{j=-q}^{q} x_{t-j}

∑j=−qqE[xt−j]=∑(β1+β2(t−j))=(2q+1)(β1+β2t)\sum_{j=-q}^{q} E[x_{t-j}] = \sum (\beta_1 + \beta_2(t-j)) = (2q+1)(\beta_1 + \beta_2 t)

自协方差函数：

  • 非零项数 N(h)=2q+1−∣h∣N(h) = 2q+1 - |h|（当 ∣h∣≤2q|h|\leq 2q）

  • 每项协方差为 σw2\sigma_w^2，分母为 (2q+1)2(2q+1)^2

γv(h)={2q+1−∣h∣(2q+1)2σw2∣h∣≤2q0∣h∣>2q\gamma_v(h) = \begin{cases} \frac{2q+1-|h|}{(2q+1)^2} \sigma_w^2 & |h| \leq 2q \\ 0 & |h| > 2q \end{cases}